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高中性爱 追求完整的乖僻数：挑战手机蓄意器的极限
发布日期：2024-10-25 19:57 点击次数：189
本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019）高中性爱，作家：姬扬
乖僻数是不行示意为两个整数之比的数，似乎有些“不讲真理”。好多乖僻数不错通过基础运算形成有理数或整数，而有些则无论如何极力王人不行变“完整”。本文先容一个乖僻数，它自己即为三个乖僻数的组合，究诘东谈主员通过一个复杂的公式运算也只可得到它的近似值。但更穷苦的是，咱们不错通过手机蓄意器来考据！
撰文 | 姬扬（中国科学院半导体究诘所）
咱们王人知谈，乖僻数（irrational number）“不蔼然”。按整数递次，它们大多体态颓残，然而它们中间有很大王人很有理念念，老是念念追求完整：有的是靠我方，有的是靠同道。
比如说，
是乖僻数，可能亦然乖僻数，然而即是整数了，况且它很“2”。
再比如说，天然常数 e 和圆周率 π 王人是乖僻数，然而只需要一个虚数的匡助，它们就不错形成整数：eiπ=-1；效果是个负整数，它还不够“2”，不然就会有 e2iπ=1。
天然，不是悉数的极力王人简略善事完满。天然常数 e、圆周率 π 和 163 的平日根（），它们也极力过追求完整，可惜就差了那么一丝点，很小的一丝点。
多小的一丝点呢？
它跟整数的远隔在于少许点后第 13 位，也即是说，少许点后经过了 12 个 9，才形成了 2。
为什么这样呢？这内部有一套很复杂的数学表面，我也看不懂，然而不错援用一个公式：
诸界末日在线
它是否正确，咱们不错用蓄意器查考一下。
手机的蓄意器很深广，相当是它的科学蓄意器阵势。举例它不错应酬地把圆周率 π 的值算到少许点后一百位。
为了便于大家亲身查考，我会先容翔实的操作历程。领先，掀开手机自带的蓄意器（我的手机是华为 P30），它有两个阵势 —— 竖版的“递次蓄意器”和横版的“科学蓄意器”，不错自便地聘请切换。
插足“科学蓄意器”，就自动切换到横版，上方是两行的袒露屏，下方是键盘。按“π”键，π 就出当今袒露屏的第一溜，同期在第二行袒浮现它的数值，“3.1415...1971”。这一溜不错袒露 42 个数字或字符。通过触屏操作，咱们不错对数字进行复制粘贴操作。
当今，咱们来考据手机自带的 π 究竟算到了些许位。用 π 减去刚才得到的 42 位数字，即“π-3.1415…1971”。
连接一样的操作，不错得到更多的位数。
从菜单里聘请“历史记录”，不错找到往日作念的蓄意，比如说我刚作念的把 π 算到 100 位。
算得对不合呢，我从网上找了 π 值少许点后 200 位，如下：
π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 。
跟上头的图片对照一下就不错看到，手机蓄意器的效果有 115 位少许，一起正确。使用这一设施显着还不错算更多位，然而究竟能算些许位，我莫得实践，毕竟用手机操作复制和粘贴太勤奋了。
值得一提的是，这个发扬比我的 PC 电脑系统附带的蓄意器犀利。诈欺访佛的操作，PC 系统的蓄意器不错得到“π= 3.14...... 6939931148 ”（第 41-50 位应该是 6939937510），从少许点后第 47 位运转就错了。
网上的 π 值就一定正确吗？它可能是正确的，也有可高手机蓄意器挑升保留了 π 的好多位数，也许藏在那里备用呢。
接下来，让咱们算算 —— 念念必这个数是不会预存的。效果发现，两个蓄意器的发扬照旧不一样。仔细不雅察不错看出，两部蓄意器的第一次蓄意效果应是沟通的：蓄意机的效果临了的 4 位数字是 9871；而手机对应的位置是 9870，后来面还有 9 个数字“892347382”。当用电脑蓄意器作念减法后，得到的效果是“-1.076524...”，前边还有一个负号。辩论到负号，这两个蓄意效果一直到咱们手机袒露的倒数第三位，也即是 3（手机蓄意）和 4（电脑蓄意），这里如实有远隔。我以为，比拟于电脑，咱们照旧笃信手机好了，毕竟它给出的位数更多，况且蓄意的 π 值也跟网上的效果一样。
电脑蓄意器蓄意-12.767…781（的 30 位少许近似值）的效果。
手机蓄意器蓄意的效果，有 39 位少许。
临了，咱们算一算。先把前边的公式再温习一遍：
我用手机自带的科学蓄意器作念了几个不同的蓄意，分离是径直蓄意的值（用前文的设施）和用公式近似蓄意，效果如下：
①径直蓄意，得到 18 位整数和 23 位少许：最运转的 12 个少许王人是 9，第 13 个是 2。
②蓄意公式的一级近似，也即是第一项的孝顺。
③蓄意公式的二级近似，也即是前两项的孝顺。
④蓄意公式的三级近似，也即是前三项的孝顺。
⑤第二次径直蓄意，此次算的是减去 18 位整数和少许点后的 12 个 9。
⑥第三次径直蓄意，此次算的是减去第一次径直蓄意得到的效果，也即是 18 位整数和少许点后的 23 位少许。
⑦第四次径直蓄意，减去第一次径直蓄意和第三次径直蓄意的效果，得到了少许点以后的 99 位少许。
浅显分析不错得出：径直蓄意（①）最浅显也最直率，然而照旧得到了 e、π 和这三个乖僻数协作追求完整的全历程；公式莫得告诉整数是些许（这个很容易算的），然而给出了更多更精准的少许位（②、③、④）；蓄意器比这个公式的前三项还要深广（⑤和⑥），以致简略蓄意到少许点后 99 位（⑦）。用两种蓄意的效果（用公式蓄意和径直蓄意）得当得很好，因此咱们笃信手机蓄意的效果是正确的。
我也用电脑的蓄意器算过，诚然也能见证它们仨追求完整的历程，然而在少许点后几十的方位，仍然给出了不同的效果。
临了再谈谈这个公式。十分接近整数这件事，在一些讲蓄意数学的书里提到过，无意候用作例子评释蓄意的精度和富厚性。有关词，对于它为什么这样接近整数，讲得就很少了。况且基本上王人是先说，这个真理给芜俚东谈主是讲不解白的，因为要波及椭圆弧线、模神志以偏激他一些表面。
我找到了一篇先容性的著作 [1]，看得稀里糊涂，但也不是莫得成绩。除了找到前边用的阿谁公式之外，我还发现 —— 可能大家也王人知谈 —— 数学家的数学诚然很好，然而他们算术不一定强，不时会搞错个象征之类的。正如文中所示，作家在欢腾得手之前的临了两行公式中“196884”前边的象征不一样，确定有一个是错的 —— 况且我确定，是临了那行里的错了。
“大行不拘细谨，大礼不辞小让。”连数学家王人未免犯错，三个极力追求完整的乖僻数临了莫得获取相当完满的效果，也就不那么令东谈主不测了。
的多样近似值，临了一个有 99 位少许。
参考文件
[1] https://www.isibang.ac.in/~sury/episq163.pdf
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